Problemas de muestras de crecimiento y decadencia
En la vida real, existen fenómenos en los que las cantidades crecen o decaen exponencialmente. Normalmente, se trata de situaciones como el crecimiento desmesurado de la población, el decaimiento radiactivo o el interés compuesto. El estudio de estos fenómenos en términos de crecimiento y decaimiento ayuda a comprender su comportamiento a largo plazo.info Inforeply Share
El crecimiento exponencial se produce cuando una cantidad aumenta por el mismo factor en intervalos de tiempo iguales. Esto da lugar a una función exponencial, en la que la variable independiente del exponente, t, es el tiempo.
Como la cantidad aumenta con el tiempo, el multiplicador constante b tiene que ser mayor que 1. Así, el factor de crecimiento b puede expresarse como b=1+r, donde r es algún número positivo. La función resultante se denomina función de crecimiento exponencial.
La constante r puede interpretarse como la tasa de crecimiento, en forma decimal. Un valor de 0,06, por ejemplo, significa que la cantidad aumenta un 6% en cada unidad de tiempo. Como en todas las funciones exponenciales, a es la coordenada y de la intersección y.
Fórmula de crecimiento exponencial frente a decadencia
En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En la modelización matemática, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelizará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso del crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:
donde [latex]{A}_{0}[/latex] es igual al valor en el momento cero, e es la constante de Euler, y k es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en aplicaciones que implican el tiempo de duplicación, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como las poblaciones de animales salvajes, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden presentar un crecimiento basado en el tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta a los datos mejor que el modelo exponencial.
Por otro lado, si una cantidad está cayendo rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial. De nuevo, tenemos la forma [latex]y={A}_{0}{e}^{-kt}[/latex] donde [latex]{A}_{0}[/latex] es el valor inicial, y e es la constante de Euler. Ahora k es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la vida media, o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la vida media en aplicaciones que implican isótopos radiactivos.
Gráfico de decaimiento exponencial
Podemos utilizar el concepto de crecimiento y decaimiento exponencial para modelar situaciones que muestran cualquier crecimiento o decaimiento del valor por factores específicos durante un período. El mejor ejemplo, y el más común, es el de los intereses, en el que nuestro dinero aumenta en un determinado porcentaje periódicamente.
El crecimiento y la decadencia exponenciales son el crecimiento o la decadencia continuos en el patrón del valor. Si hay un decaimiento constante y exponencial, lo llamamos modelo de decaimiento, mientras que si hay un aumento continuo, lo llamamos modelo de crecimiento exponencial.
El decaimiento exponencial se produce cuando el número de alguna entidad disminuye exponencialmente. A diferencia del crecimiento, en el que el valor se multiplica, en el decaimiento se produce una división repetida y rápida. Se trata de una ecuación exponencial, pero los valores decaen.
Este modelo se aplica a varios procesos naturales, como el envejecimiento, el crecimiento de la población, el interés compuesto, el crecimiento bacteriano, la descomposición radiactiva, la retroalimentación, etc. En este artículo se analizan algunas de estas aplicaciones.
Respuesta: Algunos ejemplos de crecimiento y decaimiento exponencial son los estudios de población, la electricidad, los pagos de créditos y la propagación de virus y enfermedades. Este modelo se aplica cuando las cantidades crecen o decaen a ritmos exponenciales.
Matemáticas de crecimiento y decadencia
En matemáticas, el decaimiento exponencial describe el proceso de reducción de una cantidad en un porcentaje constante durante un periodo de tiempo. Puede expresarse mediante la fórmula y=a(1-b)x, en la que y es la cantidad final, a es la cantidad original, b es el factor de decaimiento y x es el tiempo transcurrido.
La fórmula del decaimiento exponencial es útil en una variedad de aplicaciones del mundo real, sobre todo para el seguimiento del inventario que se utiliza regularmente en la misma cantidad (como la comida para una cafetería de la escuela) y es especialmente útil en su capacidad para evaluar rápidamente el costo de uso a largo plazo de un producto en el tiempo.
El decaimiento exponencial se diferencia del lineal en que el factor de decaimiento se basa en un porcentaje de la cantidad original, lo que significa que el número real en el que podría reducirse la cantidad original cambiará con el tiempo, mientras que una función lineal disminuye la cantidad original en la misma cantidad cada vez.
También es lo contrario del crecimiento exponencial, que suele darse en los mercados de valores, donde el valor de una empresa crece exponencialmente con el tiempo antes de alcanzar una meseta. Puedes comparar y contrastar las diferencias entre el crecimiento exponencial y el decrecimiento, pero es bastante sencillo: uno aumenta la cantidad original y el otro la disminuye.